R语言笔记之数据类型4-矩阵

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矩阵

矩阵定义

矩阵是一个二维数组，只是每个元素都拥有相同的模式（数值型、字符型或逻辑型）。可通过函数matrix()创建矩阵。一般使用格式为： 

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myymatrix <- matrix(vector, nrow=number_of_rows, ncol=number_of_columns, 
                    byrow=logical_value, dimnames=list(  
                      char_vector_rownames, char_vector_colnames))

其中：

  • vector包含了矩阵的元素；
  • nrow和ncol用以指定行和列的维数；
  • dimnames包含了可选的、以字符型向量表示的行名和列名。
  • 选项 byrow 则表明矩阵应当按行填充（ byrow=TRUE ）还是按列填充（ byrow=FALSE ），默认情况下按列填充。

创建矩阵

matrix()

此函数在默认情况下是按列进行填充，如下所示：

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a <- 1:12
a 
matrix(a, nrow=4, ncol=3) # 默认按列填充
matrix(a, nrow=3, ncol=3, byrow=T) # 按行填充

运行结果如下所示：

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> a <- 1:12
> a 
 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
> matrix(a, nrow=4, ncol=3) # 默认按列填充
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    5    9
[2,]    2    6   10
[3,]    3    7   11
[4,]    4    8   12
> matrix(a, nrow=3, ncol=3, byrow=T) # 按行填充
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    4    5    6
[3,]    7    8    9

dim()

通过dim来创建，先生成向量x，接着给向量x适当的维数，此例子中给向量的维数为5行，3列： 

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> x <- 1:15
> x # 建立x
 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
> x <- 1:15
> x # 建立x
 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
> dim(x) #查看x的维度
NULL
> dim(x) <- c(5,3) # 将向量x转化为5行3列的矩阵
> x
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    6   11
[2,]    2    7   12
[3,]    3    8   13
[4,]    4    9   14
[5,]    5   10   15

矩阵命名

用法：Dimnames(Row_name,Col_name)，给定行和列的名称,如果不需要给行或者列命名，则以NULL代替。例如：给下面的矩阵列命令：

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a<-c(1,2,3,4,5,6);a
## [1] 1 2 3 4 5 6
a<-matrix(a,nrow=2,byrow=T,dimnames=list(c('a','b'),c('A','B','C')));a
##   A B C
## a 1 2 3
## b 4 5 6

用rownames与colnames实现

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b<-c(2,3,4,5,6,7) # 建立向量b
b
## [1] 2 3 4 5 6 7
b<-matrix(b,nrow=2) # 将向量b转化为矩阵
b
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]2    4    6
## [2,]3    5    7
rownames(b)<-c("row_1","row_2") # 将矩阵行命名
colnames(b)<-c("col_1","col_2","col_3") # 将矩阵的列命名
b
##       col_1 col_2 col_3
## row_12     4     6
## row_23     5     7

查看矩阵

查看矩阵的列/行相关信息

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colnames(a) # 查看矩阵列名
## [1] "A" "B" "C"
rownames(a) # 查看矩阵行名
## [1] "a" "b"

查看矩阵的维度

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dim(a) # 返回行与列数
## [1] 2 3
nrow(a) # 返回行数
## [1] 2
ncol(a) # 返回列数
## [1] 3

条件提取子矩阵

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a # 查看矩阵a
##   A B C
## a 1 2 3
## b 4 5 6
a[2,3] #取矩阵a的第2列，第3个元素
## [1] 6
 a[,1] #取矩阵a的第1列
## a b 
## 1 4
a[1,] # 取矩阵a的第1行
## A B C 
## 1 2 3
c<-a[a[,2]>4] # 取矩阵a第2行并且大于4的元素，并将其赋值给c
c
## [1] 4 5 6
x<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,8)
x<-matrix(x,nrow=3)
x
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]1    4    7
## [2,]2    5    8
## [3,]3    6    8
x[,3] # 选取矩阵的第3列
## [1] 7 8 8
x[3,] # 选取矩阵的第3行
## [1] 3 6 8
y<-x[,3,drop=FALSE] # 选取x矩阵的第3列，并返回一个矩阵给y
y
##      [,1]
## [1,]    7
## [2,]    8
## [3,]    8
x[,-1] # 不显示矩阵的第1列
##      [,1] [,2]
## [1,]4    7
## [2,]5    8
## [3,]6    8
x[-1,] # 不显示矩阵的第1行
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]2    5    8
## [2,]3    6    8
x[,-(1:2)] # 不显示矩阵的第1，2列
## [1] 7 8 8
z<-x[,-(1:2),drop=FALSE] #不显示矩阵x的第1，2列，并且返回为一矩阵y
z
##      [,1]
## [1,]    7
## [2,]    8
## [3,]    8

提取矩阵的行或列

nrow与ncol函数： nrow与ncol函数返回行或列的某一个数字。NCOL与NROW用于向量，即把向量作为单行的矩阵处理。 用法： nrow(x) ncol(x) NCOL(x) NROW(x) 参数： x：向量，或数据框； 值：长度为1或无的整数： 类似的有dim函数，如下所示：

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ma <- matrix(1:12, 3, 4);ma # 建矩阵3行4列的矩阵
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]1    4    710
## [2,]2    5    811
## [3,]3    6    912
nrow(ma)   # 行数为3
## [1] 3
ncol(ma)   # 列数为4
## [1] 4
y <-array(1:24, dim = 2:4);y # 建2行4列的数组
## , , 1
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]1    3    5
## [2,]2    4    6
## 
## , , 2
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]7    9   11
## [2,]8   10   12
## 
## , , 3
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]13   15   17
## [2,]14   16   18
## 
## , , 4
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]19   21   23
## [2,]20   22   24
ncol(y)
## [1] 3
NCOL(1:12) # NCOL把数组作为单行的矩阵处理
## [1] 1
NROW(1:12) # 12
## [1] 12

矩阵的运算

矩阵相乘%*%

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a
##   A B C
## a 1 2 3
## b 4 5 6
d <- c(1:6)
d <- matrix(d,nrow=3)
d
##      [,1] [,2]
## [1,]1    4
## [2,]2    5
## [3,]3    6
e<-a%*%d
e
##   [,1] [,2]
## a   14   32
## b   32   77

只有当矩阵a的列数与矩阵b的行数相等时a×b才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。 运算的法则： 矩阵a的第1行的3个元素(1,2,3)分别与矩阵b第1列的3个元素(1,2,3)相乘，其和为结果为e[1,1]，即e[1,1]=1×1+2×2+3×3=14； 矩阵a的第1行的3个元素(1,2,3)分别与矩阵b第2列的3个元素(4,5,6)相乘1×4+2×5+3×6=32，得到e[1,2]； 矩阵a的第2行的3个元素(4,5,6)分别与矩阵b第1列的3个元素(1,2,3)相乘4×1+5×2+6×3=32，得到e[2,1]； 矩阵a的第2行的3个元素(4,5,6)分别与矩阵b第2列的3个元素(4,5,6)相乘4×4+5×5+6×6=77，得到e[2,2].

矩阵合并

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m1<-matrix(1,nrow=2,ncol=2)
m1 # 建立矩阵m1,2行2列，值为1
##      [,1] [,2]
## [1,]1    1
## [2,]1    1
m2<-matrix(2,nrow=2,ncol=2)
m2 # 建立矩阵m2,2行2列，值为2
##      [,1] [,2]
## [1,]2    2
## [2,]2    2
m_rbind<-rbind(m1,m2);m_rbind # 对两个矩阵m1,m2进行行合并，即上下合并
##      [,1] [,2]
## [1,]1    1
## [2,]1    1
## [3,]2    2
## [4,]2    2
m_cbind<-cbind(m1,m2);m_cbind #对两个矩阵m1,m2进行列合并，即左右合并
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]1    1    22
## [2,]1    1    22

星号表示相乘

把两个矩阵中每个对应的元素相乘，例子中a与b拥有相同的维度 

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a
##   A B C
## a 1 2 3
## b 4 5 6
b
##       col_1 col_2 col_3
## row_12     4     6
## row_23     5     7
result<-a*b #将矩阵a与矩阵b相乘，并将其结果给result
result
##    AB  C
## a  2  8 18
## b 12 25 42

如果维度不同，如下所示：

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a
##   A B C
## a 1 2 3
## b 4 5 6
c
## [1] 4 5 6
a*c # a矩阵中的每一列与c的每一行相乘，循环c
##    AB  C
## a  4 12 15
## b 20 20 36

增加行与列

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f<-matrix(,4,2) # 建立4行2列的空矩阵f
f
##      [,1] [,2]
## [1,]NA   NA
## [2,]NA   NA
## [3,]NA   NA
## [4,]NA   NA
f[c(1,3),]<-matrix(c(1,2,3,4)) #取f的1行与3行，将向量(1,2,3,4)填充进去，默认按列填充
f
##      [,1] [,2]
## [1,]1    3
## [2,]NA   NA
## [3,]2    4
## [4,]NA   NA
g<-matrix(,4,2)
g
##      [,1] [,2]
## [1,]NA   NA
## [2,]NA   NA
## [3,]NA   NA
## [4,]NA   NA
g[c(1,3),]<-matrix(c(1,2,3,4),byrow=FALSE) # byrow=FALSE则按行填充
g
##      [,1] [,2]
## [1,]1    3
## [2,]NA   NA
## [3,]2    4
## [4,]NA   NA

矩阵转置t()

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f
##      [,1] [,2]
## [1,]1    3
## [2,]NA   NA
## [3,]2    4
## [4,]NA   NA
h<-t(f)
h
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]1   NA    2NA
## [2,]3   NA    4NA

取对角元素diag()

若要取一个方阵的对角元素，对一个向量应用diag()函数将产生以这个向量为对角元素的对角矩阵，对一个正整数k应用diag()函数将产生k维单位矩阵，如下所示：

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j<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)
j<-matrix(j,nrow=3)
j_diag<-diag(j) #取对角
j_diag
diag(diag(j_diag))
diag(3)
A <- matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
diag(A)
diag(3)

结果如下所示：

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> j_diag
[1] 1 5 9
> diag(diag(j_diag))
[1] 1 5 9
> diag(3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1
> A <- matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
> diag(A)
[1]  1  6 11 16
> diag(3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1

求各行与列的总和与均值rowSum()，rowMeans()

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j
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]1    4    7
## [2,]2    5    8
## [3,]3    6    9
rowSums(j) # 求各行的总和
## [1] 12 15 18
rowMeans(j) # 求行的均值
## [1] 4 5 6
colSums(j) #求各列的总和
## [1]  6 15 24
colMeans(j) #求各列的均值
## [1] 2 5 8

矩阵的特征值与特征向量eigen()

矩阵A的谱分解为A=UΛU，其中Λ是由A的特征值组成的对角矩阵，U的列为A的特征值对应的特征向量，在R中可以使用eigen()得到U和A，eigen(x,symmertic, only.values=FALSE,EISPACK=FALSE)，其中参数symmetric项是逻辑值，是F或T，它用于指定矩阵x是否为对称矩阵，如果不指定，系统将自动检验x是否为对称矩阵，如下所示：

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> eigen(j)
eigen() decomposition
$values
[1]  1.611684e+01 -1.116844e+00 -5.700691e-16
$vectors
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] -0.4645473 -0.8829060  0.4082483
[2,] -0.5707955 -0.2395204 -0.8164966
[3,] -0.6770438  0.4038651  0.4082483

矩阵的求逆solve()

矩阵求逆可用函数solve()，应用sovle(A,b)运算结果可以解线性方程组Ax=b，若b缺少，则系统默认为单位矩阵，因此可以用其进行矩阵求逆，如下所示： 

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A <- matrix(rnorm(16),4,4);A
solve(A)

结果如下所示：

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> A <- matrix(rnorm(16),4,4);A
        [,1]    [,2]     [,3]    [,4]
[1,]  0.3981  1.4330  0.56972  0.6897
[2,] -0.6120  1.9804 -0.13505  0.0280
[3,]  0.3411 -0.3672  2.40162 -0.7433
[4,] -1.1294 -1.0441 -0.03924  0.1888
> solve(A)
        [,1]    [,2]      [,3]    [,4]
[1,] 0.12130 -0.4308 -0.063267 -0.6283
[2,] 0.04397  0.3764  0.007696 -0.1862
[3,] 0.30921 -0.0369  0.344768  0.2331
[4,] 1.03306 -0.5029 -0.264247  0.5569

矩阵的特征值与特征向量eigen()

矩阵A的谱分解为$A=U\Lambda U’$，其中$\Lambda$是由$A$的特征值组成的对角矩阵，$U$的列为$A$的特征值对应的特征向量，在R中可以使用eigen()得到$U$和$A$，此函数参数如下所示：

1
eigen(x,symmetric,only.values=FALSE, EISPACK=FALSE)

其中，x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，若不指定，系统将自动检测x是否为对称矩阵，如下所示：

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A <- diag(4) +1
A.e <- eigen(A, symmetric=T)
A.e
A.e$vectors%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)

结果如下所示：

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> A <- diag(4) +1
> A.e <- eigen(A, symmetric=T)
> A.e
eigen() decomposition
$values
[1] 5 1 1 1
$vectors
     [,1]    [,2]    [,3]    [,4]
[1,] -0.5  0.8660  0.0000  0.0000
[2,] -0.5 -0.2887 -0.5774 -0.5774
[3,] -0.5 -0.2887 -0.2113  0.7887
[4,] -0.5 -0.2887  0.7887 -0.2113
> A.e$vectors%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    1    1    1
[2,]    1    2    1    1
[3,]    1    1    2    1
[4,]    1    1    1    2

矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，即$A=P’P$，其中$P$为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解，如下所示： 

1
2
3
A <- diag(4) +1
A.c <-chol(A);A.c
t(A.c)%*%A.c

结果如下所示：

1
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13
> A <- diag(4) +1
> A.c <-chol(A);A.c
      [,1]   [,2]   [,3]   [,4]
[1,] 1.414 0.7071 0.7071 0.7071
[2,] 0.000 1.2247 0.4082 0.4082
[3,] 0.000 0.0000 1.1547 0.2887
[4,] 0.000 0.0000 0.0000 1.1180
> t(A.c)%*%A.c
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    1    1    1
[2,]    1    2    1    1
[3,]    1    1    2    1
[4,]    1    1    1    2

矩阵奇异值分解svd()

A为$m \times n$矩阵，$rank(A)=r$，可以分解为$A=UDV^T$，其中，$U’U=V’V=I$。在R中可以使用函数svd()进行奇异值分解，如下所示：

1
2
3
A <- matrix(1:18, 3,6);A
A.s <- svd(A);A.s
A.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)

结果如下所示：

1
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29
> A <- matrix(1:18, 3,6);A
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    4    7   10   13   16
[2,]    2    5    8   11   14   17
[3,]    3    6    9   12   15   18
> A.s <- svd(A);A.s
$d
[1] 4.589e+01 1.641e+00 1.367e-15
$u
        [,1]    [,2]    [,3]
[1,] -0.5290  0.7439  0.4082
[2,] -0.5761  0.0384 -0.8165
[3,] -0.6231 -0.6671  0.4082
$v
         [,1]    [,2]     [,3]
[1,] -0.07736 -0.7196 -0.40767
[2,] -0.19033 -0.5089  0.57456
[3,] -0.30330 -0.2983 -0.02801
[4,] -0.41627 -0.0876  0.22266
[5,] -0.52924  0.1231 -0.62121
[6,] -0.64221  0.3337  0.25966
> A.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    4    7   10   13   16
[2,]    2    5    8   11   14   17
[3,]    3    6    9   12   15   18

矩阵QR分解qr()

A为$m \times n$矩阵时可以进行QR分解，$A=QR$，其中，$Q’Q=I$，在R中可以使用qr()进行QR分解，如下所示：

1
2
A <- matrix(1:16,4,4);A
qr(A)

结果如下所示：

1
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25
> A <- matrix(1:16,4,4);A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16
> qr(A)
$qr
        [,1]     [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -5.4772 -12.7802 -2.008e+01 -2.739e+01
[2,]  0.3651  -3.2660 -6.532e+00 -9.798e+00
[3,]  0.5477  -0.3782  1.601e-15  2.217e-15
[4,]  0.7303  -0.9125 -5.547e-01 -1.478e-15
$rank
[1] 2
$qraux
[1] 1.183e+00 1.156e+00 1.832e+00 1.478e-15
$pivot
[1] 1 2 3 4
attr(,"class")
[1] "qr"

矩阵kronecker积kronecker()

A为$m \times n$矩阵,B为$h \times k$矩阵，而A与B的kronecker积为一个$nh \times mk$维矩阵，在R中，使用函数kronecker()来过计算kronecker积，如下所示：

1
2
3
A <- matrix(1:4,2,2);A
B <- matrix(rep(1,4),2,2);B
kronecker(A,B)

结果如下所示：

1
2
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4
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14
> A <- matrix(1:4,2,2);A
     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4
> B <- matrix(rep(1,4),2,2);B
     [,1] [,2]
[1,]    1    1
[2,]    1    1
> kronecker(A,B)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    1    3    3
[2,]    1    1    3    3
[3,]    2    2    4    4
[4,]    2    2    4    4

行列式计算det()

在矩阵中，计算行列式的值可以使用函数det()，如下所示：

1
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5
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10
A <- matrix(1:16,4)
B <- A
C <- matrix(1:4,2)
B[row(A) < col(A)] =0 # 构建一个新矩阵
A
B
C
det(A)
det(B)
det(C)

计算结果如下所示：

1
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> A <- matrix(1:16,4)
> B <- A
> C <- matrix(1:4,2)
> B[row(A) < col(A)] =0 # 构建一个新矩阵
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16
> B
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0    0    0
[2,]    2    6    0    0
[3,]    3    7   11    0
[4,]    4    8   12   16
> C
     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4
> det(A)
[1] 0
> det(B)
[1] 1056
> det(C)
[1] -2

参考资料

  1. 多元统计分析及R语言建模（第4版） [Multivariate Statistical Analysis and Modeling for R Language] .王斌会 著
  2. R数据分析之方法与案例详解.方匡南,朱建平,姜叶飞.电子工业出版社